Vollständige Induktion und der kleine Gauß

 



Vollständige Induktion und der kleine Gauß

Ja, so geht das manchmal - man macht einen Scherz und beim Nachdenken darüber landet man unversehens in der Tiefe seines Gedächtnisses bei der vollständigen Induktion"Was ist das denn?", werden manche fragen. Induktion kennt man meist aus "dem Elektrischen", z.B. die Induktionsschleifen im Asphalt vor den Ampeln.

Ich krame jetzt einmal in meinen Erinnerungen an den Mathematikunterricht in den frühen 60er Jahren des vorigen Jahrhunderts.

Der kleine Gauß

Das Ganze begann für mich mit einer Geschichte über den kleinen Carl Friedrich Gauß:

Dessen Lehrer wollte sich einmal etwas freie Zeit während des Unterrichts verschaffen und dachte sich eine Aufgabe aus, mit der er seine Schüler eine Weile beschäftigen wollte. Sie sollten alle (natürlichen) Zahlen von 1 bis 100 addieren. Zu seinem Erstaunen stand der kleine Gauß schon nach einem kurzen Augenblick auf und präsentierte ihm das richtige Ergebnis: 5050!

Wie war der Knirps so schnell darauf gekommen? Ihm war aufgefallen dass die Summe aus der ersten und letzen Zahl der Aufgabe (1 + 100 = 101) genauso groß ist, wie die Summe aus der zweiten und vorletzten Zahl (2 + 99 = 101) und fünfzig mal so weiter bis 50 + 51 = 101. Also war das Ergebnis 50 * 101 = 5050.

Die vollständige Induktion

Diese kleine Geschichte war für uns damals der Einstieg in das Prinzip der vollständigen Induktion. Mit deren Hilfe sollten wir beweisen, dass das, was der kleine Gauß damals machte für alle natürlichen Zahlen - und nicht nur dafür - gilt. Das Ganze beruht auf fünf einfachen, aber grundlegenden Definitionen, den Peano-Axiomen.

Zur Erläuterung der vollständigen Induktion: Screenshot "Peano-Axiome" aus Wikipedia

Screenshot zu Peoano-Axiome aus Wikipedia

Das sieht jetzt nicht so einfach aus, ist aber auf Wikipedia recht verständlich erklärt. Und das meiste davon habe ich jetzt selbst erst wieder einmal nachgelesen. Das Wenige, das ich aber noch sicher im Gedächtnis hatte, sollte hier ausreichen, um das Prinzip einfach zu erklären.

Die Aufgabe war, alle natürlichen (d.h. alle positiven ganzen) Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Wenn man für die 100 den Buchstaben "n" verwendet, lautete die Aufgabe: "Bilde die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n". Das Ergebnis soll "angeblich" immer n(n+1)/2 sein.

Wenn nun eine Behauptung nicht nur für eine natürliche Zahl, sondern auch für ihren Nachfolger wahr ist, dann gilt sie für alle natürlichen Zahlen. Und am einfachsten überprüft man das mit der Null und der Eins:

0(0+1)/2 = 0*1/2 = 0

1(1+1)/2 = 1*2/2 = 1

...

100(100+1)/2 = 100*101/2 = 10100/2 = 5050

("wzbw. = was zu beweisen war")

Mein persönliches Fazit

Es hat eine Menge Spaß gemacht, in den Tiefen des Gedächtnisses zu kramen und längst Vergessenes wieder ans Tageslicht zu holen. Nicht zuletzt mit Hilfe von Wikipedia. Wer mehr wissen oder verschüttetes Wissen wieder ausgraben möchte, kann das mit den hier angegebenen Links tun. Viel Spaß dabei!

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